Лекция № 8

Пример 2.1:

Сколько денег можно накопить в банке в течение года, внося ежемесячно по300 руб. во вклад под 18% годовых?

Решение:

С=-300 руб

r=0,18

k=1

m=1,2

FV=?

 

Первый случай – взносы постнумерандо (тип=0)

 

 

Второй случай –взносы пренумерандо (тип =1)

 

Если бы мы копили эти деньги в банке из под кофе, то в конце года имели бы только

FV=300*12=3600 руб.

Таким образом, в обоих случаях за счет процентов банк нам приплачивает в конце года больше трехсот руб. Однако во втором случае (выплаты в начале каждого месяца) мы получим почти на 60 руб. больше.

 

2.3 УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В ОБЩЕМ ВИДЕ

 

 

В первой главе мы вывели уравнение эквивалентности (1.6) между одноразовым взносом и накопленной к концу срока финансовой сделки суммой FV при условии наращивания процентов по номинальной ставке r. В этом уравнении не учитывались периодические платежи С. В разделе 2.2.2 выведено уравнение эквивалентности (2.4), связывающее периодические платежи С и накопленную сумму FV при условии, что не было первоначального взноса PV.

В повседневных финансовых операциях накопления денег, кредитования, аннуитета (см. раздел 2.1) фигурируют как первоначальные, так и периодические взносы.

Все эти ситуации описываются общим эквивалентным уравнением, объединяющим уравнения (1.6) и (2.4)

(2.5)

Из этого уравнения можно определить одну из величин как функцию остальных:

 

1. FV=f(PV,С,r,m,k) – будущую сумму в любой момент;

2. PV=f(FV,С,r,m,k) – текущую сумму, пересчитанную к любому моменту финансовой сделки;

3. С=f(PV,FV,r,m,k) – выплаты;

4. k=f(PV,FV,С,r,m) – срок договора;

5. r=f(PV,FV,С,m,k) – норму, годовую процентную ставку.

 

Определение будущей суммы

 

Пример 2.2 Изменим условия примера 2.1. Пусть в начале срока вложена сумма PV=1000 руб. Ежемесячно вносится еще по 300 руб. Годовая процентная ставка 18%. Как при этом изменятся суммы в конце года постнумерандо и пренумерандо.

Решение

PV=-1000 руб.

с=-300 руб.

r=0,18

k=1

m=12

 

FV=?

 

2) Взносы пренумерандо.

 

 

 

2.3.2 Определение текущей суммы

 

Из уравнения (2.5) получим в общем виде

 

. (2.6)

Откуда

(2.7)

 

Пример 2.3. Пенсионер получил наследство и хотел бы заключить договор с пенсионным фондом с условием получения 500 руб. в конце (начале) каждого месяца на протяжении 5 лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода при процентной ставке 24% годовых?

Решение.

FV=0

С=500

r=0,24

k=5

m=12

 

PV=?

 

2) Выплаты в начале месяца (тип=1)

 

 

Как видим, во втором случае вклад должен быть значительнее почти на 350 руб. Знак минус показывает, что первоначальную сумму PV нужно отдать в банк.

Сколько денег пришлось бы пенсионеру положить в шкатулку, чтобы вынимать из нее по 500 руб. ежемесячно в течение 5 лет?

PV=500·12·5=30000 руб.

В обоих случаях банк за счет процентов доплачивает больше 12000 руб.

 

2.3.3 Определение периодических выплат

 

Какую сумму С нужно вносить регулярно в начале (в конце) периода, чтобы при первоначальном взносе PV и годовой процентной ставке r через n=m·k периодов накопить капитал FV? Из (2.5) имеем

. (2.8)

 

Решение

FV=50000 руб.

PV=0

r=0,06

k=18

m=12

 

С=?

 

2.3.4 Расчет срока ренты

 

При разработке условий контракта иногда возникает необходимость в определении срока ренты. Решая уравнение (2.5) относительно числа лет k, получим

 

(2.9)

 

 

Пример 2.5 Фирме нужно выплатить долг 300 млн. руб. ежегодными платежами по 111,52 млн. руб. Процентная ставка согласно договору между кредитором и фирмой установлена 12% годовых. Нужно определить срок платежа.

Решение

PV=300 млн. руб.

FV=0

С=-111,52 млн. руб.

r=0,12

m=1

тип=1

 

k=?

 

За это время с учетом процентов фирма выплатит сумму

S=-111,52·3=-334,56 млн. руб.

Переплата по процентам составит 34,56 млн. руб.

 

 

Пример 2.6 Акционерное общество решило создать резервный фонд в размере 600 млн. руб. Взносы в размере 66,834 млн. руб. вносятся в конце каждого года под годовую процентную ставку 16%. Сколько времени будет формироваться фонд?

Решение.

PV=0

FV=600 млн. руб.

C=-66,834 млн. руб.

r=0,16

m=1

тип=0

 

k=?

 

 

1.5 ПРОЦЕНТЫ И ИНФЛЯЦИЯ

1.5.1 Основные понятия

 

Инфляция – это обесценивание денег, обусловленное чрезмерным увеличением выпущенной в обращение массы бумажных денег и безналичных выплат по сравнению с реальным предложением платных товаров и услуг.

Проявляется инфляция в росте цен на товары. На одни товары цены могут расти, на другие – уменьшаться, но если наблюдается устойчивая тенденция массового повышения цен, то это уже инфляция.

Изменение цен на товары и услуги определяется при помощи индекса цен. Индекс цен численно равен отношению цен на товары, услуги или работы в один период времени к ценам этих же товаров, услуг или работ в другой период времени. Вводят понятие агрегатного индекса цен. Агрегатный индекс цен численно равен отношению цены группы товаров (услуг) за данный период к цене той же группы в базисном периоде. Индекс цен на потребительские и промышленные товары регулярно публикуется. Процентное изменение индекса потребительских цен называется уровнем инфляции.

Пусть S — некоторая сумма денег, имеющаяся у человека в данный момент; St — сумма денег через некоторое время t , покупательная способность которой равна S . Вследствие инфляции St >S и St=S+DS, где DS — некоторая сумма денег, которая добавляется к S для сохранения стоимости годовой «потребительской корзины».

Основными показателями инфляции являются

1. средний годовой уровень инфляции t= (StS )/S = DS/S

2. годовой индекс инфляции IN= St/S=1+t

Коэффициент падения покупательной способности денег определяется как величина, обратная индексу цен. В США за базисный год принят1967 г. Индекс цен в 1967 году считается за 100%. Индекс цен в 1985 г. равен 322,2%, то есть цены за это время выросли более, чем в 3 раза. Коэффициент падения покупательной способности денег за 1985 г. равен 1/3,222*100%=31,04%. Таким образом, реальная покупательная способность денег равна 31,04% от уровня 1967 года.

Индекс потребительских цен определяется по стоимости «потребительской корзины». Она определяется для трудоспособного мужчины на месяц: хлеба черного — 7 кг 20 г, белого — 3 кг 60 г, муки пшеничной — 540 г, макаронных изделий — 580 г, крупы — 630 г, картофеля — 15 кг, капусты — 2 кг 480 г, яблок — 1 кг 670 г, говядины — 1 кг, свинины — 1 кг 580 г, колбасных изделий -580 г, молока — 10 литров, масла — 500 г, яиц -26 штук, сахара — 2 кг 130 г, чая — 80 г, соли — 830 г.

В России стоимость «потребительской корзины» фиксируется к уровню сентября 1977 года.

Годовой индекс инфляции показывает, во сколько раз возрастает цена «потребительской корзины» за год. При инфляции потребители ускоренно стараются материализовать деньги в товары, что в некоторой степени стимулирует производство, способствует более быстрому обороту денег и развитию экономики. Поэтому в последнее время инфляции не приписывают исключительно деструктивных качеств, так как развитие без инфляции приводит к накоплению денег и оттоку их из производства.

1.5.2 Учет инфляции

1) Простые проценты

Определим годовую процентную ставку rt, которая бы обеспечила прибыль от наращения по годовой ставке r и покрывала потери от инфляции. Пусть без инфляции будущая сумма

FV = PV (1+ r). (1.20)

Наращенная сумма с учетом инфляции, имеющая ту же покупательную способность, что и без инфляции

FVt = PV·(1+ rt). (1.21)

Естественно, что FVt больше FV,

FVt = FV·(1+t). (1.22)

Из (1.20)-(1.22) получаем

FVt = PV·(1+ rt)= PV (1+ r) (1+t) (1.23)

и годовая процентная ставка, покрывающая инфляцию, должна быть больше, чем без инфляции.

rt=r+t+ rЧt (1.24)

Коэффициент наращения с учетом инфляции

Кt=(1+ r) (1+t). (1.25)

Он должен быть больше, чем без инфляции К=(1+ r).

Пусть клиент делает вклад в размере PV в условиях инфляции с годовым уровнем t. Банк обеспечивает ставку rt . Какова реальная годовая процентная ставка прибыли r?

Из (1.24) получаем

(1.26)

Следовательно, реальная покупательная стоимость будущего вклада составит

FV=PV·(1+).